E. rivulatus có phạm vi phân bố rộng rãi ở vùng biển Ấn Độ Dương - Thái Bình Dương. Ở Ấn Độ Dương, loài này được ghi nhận từ vùng biển phía nam bán đảo Ả Rập (ngoài khơi Oman và Yemen) trải dài theo vùng bờ biển Đông Phi, bao gồm Madagascar và một số đảo quốc (Mauritius và Seychelles), bãi ngầm xung quanh, xa hơn ở phía đông là Chagos; ở Tây Thái Bình Dương, E. rivulatus được ghi nhận từ vùng biển Việt Nam ngược lên phía bắc, trải dài dọc theo bờ biển Trung Quốc đến đảo Đài Loan, giới hạn ở phía bắc đến quần đảo Ogasawara (Nhật Bản); về phía nam trải dài đến Philippines, các nhóm đảo phía nam Indonesia, Đông Papua New Guinea trải dài xuống bờ biển phía đông Úc (từ bang Queensland đến bang New South Wales), bao gồm cả đảo Lord Howe và đảo Norfolk, New Caledonia, Tonga và New Zealand (phía bắc đảo Bắc)[1][4].

Năm 2020, trong một lần xem lại đoạn phim tài liệu thô đã được một đội ngũ làm truyền hình quay tại vùng biển thuộc quần đảo Kermadec (New Zealand) vào năm 2015, các nhà khoa học đã vô tình phát hiện ra ba loài cá mà trước đây được cho là không sống trong khu vực này, là E. rivulatus, cá dọn vệ sinh Labroides dimidiatus và cá bướm Chaetodon mertensii[5][6]. Việc phát hiện này đã mở rộng phạm vi phân bố của cả ba loài về phía nam.

E. rivulatus sống gần các rạn san hô và bãi ngầm, nơi có đáy là đá, thảm cỏ biển hay tảo, ở độ sâu đến 150 m, nhưng thường được quan sát ở vùng nước nông hơn 30 m[1][4].